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terça-feira, 18 de abril de 2017

Construindo poliedros com palito de dente e bala de goma

Atividade de matemática 2º Ano do Ensino Médio :Quando estudamos matemática aprendemos sobre geometria, e consequentemente sobre os poliedros que são sólidos geométricos formados por vértices, arestas e faces. Cada face de um poliedro é um polígono, podendo ser triângulos, quadriláteros, pentágonos, hexágonos e muitos outros. Os cálculos do volume, área lateral, área total, área da base, diagonais e apótemas são feitos através de fórmulas, bem como a relação entre os elementos desses sólidos geométricos.


























segunda-feira, 3 de abril de 2017

Exercícios sobre a relação de Euler


Resultado de imagem para euler relação
1)    O matemático suíço Leonhard Euler descobriu uma importante relação entre o número de faces, vértices e arestas de um poliedro convexo. Esta relação é:

a) F - V = A + 2

b) F + V = A + 2

c) F - V = A – 2

d) F + V = A – 2

e) F + V + A = 2


2)    Entre os poliedros a seguir assinale aquele que não é de Platão.

a)    Ortoedro.
b)    Hexaedro regular.
c)    Octaedro regular.
d)    Dodecaedro regular.
e)    Icosaedro regular.

 3) (FATEC/SP) Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, 2 faces com 3 lados e 4 faces com 5 lados. Calcule:
a)    O total de faces desse poliedro descritas no enunciado.




b)    O total de arestas considerando 3.4 + 2.3 +4.5.



c)    O número de vértices desse poliedro usando V + F = 2 + A





4).Num poliedro convexo, o número de faces é 8 e o número de arestas é 12. Qual é o número de vértices desse poliedro? (Use:V + F = A + 2)




5.)Arquimedes descobriu um poliedro convexo formado por 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais, todas regulares. Esse poliedro inspirou a fabricação da bola de futebol que apareceu pela primeira vez na Copa do Mundo de 1970. Calcule:

a)    Quantidade total de faces pentagonais ( 5 lados).




b)    Quantidade total de faces hexagonais ( 6 lados).





c)    Quantidade total de faces pentagonais e hexagonais.


d)    Se temos 90 arestas, calcule o número de vértices.
(Use: V – A + F = 2)



6) .Temos um poliedro convexo com 6 faces quadrangulares e 4 faces triangulares.A partir dele determine:

a)    O número de faces quadrangulares ( 4 lados)

b)    O número de faces triangulares ( 3 lados)

c)    Se o poliedro possui 18 arestas pela relação de Euler  V – A + F = 2 , calcule o número de vértices.




7) Num poliedro convexo, o número de faces é 8 e o número de vértices é 12. Calcular o número de arestas.( Use: A + 2 = V + F )






8).A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo é 2520º . Sabendo que ele possui 17 arestas. Calcule:
(Use: S = (V – 2)●3600 e V + F = A + 2       )

a)    O número de vértices.



b)    O número de arestas






9) Calcule em graus a soma dos ângulos das faces de um:

S= (V – 2).360º

a)    tetraedro (4 vértices)


b)    hexaedro (8 vértices)


c)    octaedro (6 vértices)


d)    dodecaedro (20 vértices)


e) icosaedro (12 vértices)




10) Quantas faces, arestas e vértices possuem o poliedro chamado de Hexaedro?


11) (PUC RS) Um poliedro convexo tem cinco faces triangulares e três pentagonais. O número de arestas e o número de vértices deste poliedro são, respectivamente,

a)     30 e 40

b)    30 e 24

c)     30 e 8

d)    15 e 25

e)     15 e 9

 

12) (UFRGS) Um poliedro convexo de onze faces tem seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares. O número de arestas e vértices do poliedro é, respectivamente

a)     34, 10

b)    19, 10

c)     34, 20

d)    12, 10

e)     19, 12

13) (MACK – SP) Um poliedro convexo tem 3 faces triangulares,  4 faces quadrangulares e 5 pentagonais. O número de vértices desse poliedro é:

b)    12

c)     15

d)    9

e)     13

 

 

14) (ITA – SP) Considere um prisma regular em que a soma dos ângulos internos de todas as faces é 7200°. O número de vértices deste prisma é igual a

a)     11

b)    32

c)     10

d)    20

e)     22

 

15) (PUC-PR) Se a soma dos ângulos das faces de um poliedro regular é 1440°, então o numero de arestas desse poliedro é:

a)     12

b)    8

c)     6

d)    20

e)     4

 

 

 

 

 

 

16) (ITA – SP) Um poliedro convexo tem 13 faces. De um dos seus vértices partem 6 arestas; de 6 outros vértices partem, de cada um, 4 arestas, e finalmente, de cada um dos vértices restantes partem 3 arestas. O número de arestas desse poliedro é:

a)     13

b)    17

c)     21

d)    24

e)     27

 

17) (CEFET – PR) O número de vértices de um poliedro convexo de 10 faces quadrangulares é:

a)     32

b)    12

c)     20

d)   15

e)     18

 

18) (PUC RS) Um poliedro convexo possui duas faces pentagonais e cinco quadrangulares. O número de vértices desse poliedro é:

a)     4

b)    6

c)     8

d)    9

e)     10

 

19) (CEFET – PR) Um poliedro convexo possui duas faces triangulares, duas quadrangulares e quatro pentagonais. Logo a soma dos ângulos internos de todas as faces será:

a)     3240°

b)    3640°

c)     3840°

d)    4000°

e)     4060°



.

20) (FAAP - SP) Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades ( A = V +¨6). Calcule o número de faces.Use:










21) Assinale a alternativa falsa:

a)    Um tetraedro regular possui 4 faces.
b)    Um hexaedro regular possui 12 arestas.
c)    Um octaedro regular possui 8 vértices.
d)    Um dodecaedro regular possui 30 arestas.
e)    Um icosaedro regular possui 20 vértices.


22) A soma dos ângulos das faces de um poliedro regular é 1.4400. O número de vértices desse poliedro é:

(Use: S = (V – 2)●3600 e V + F = A + 2       )

a)    4
b)    6
c)    8
d)    12
e)    20



sexta-feira, 31 de março de 2017

Prismas, Paralelepípedos e Cubo

Resultado de imagem para prismas regulares
Um prisma é caracterizado como um sólido que possui duas bases idênticas e paralelas. Ele é classificado de acordo com o formato de sua base e de acordo com o ângulo que as laterais formam com as bases. Mas independente do tipo do prisma que estamos lidando, é possível realizar sua planificação, isto é, reconstruir um sólido como uma figura plana. Podemos imaginar esse processo semelhante ao ato de abrir uma caixa ou mesmo como o processo de embalar uma caixa para presente;




1) Como  encontrar a área total de um prisma?
Devemos calculá-la em etapas. Primeiramente devemos encontrar o valor da área da base. Para isso, basta um só calculo, pois as bases são idênticas. A área da base deve ser multiplicada por dois, pois sempre haverá duas bases em um prisma. Feito isso, devemos encontrar a área lateral, verificando as medidas de um retângulo da lateral para calcular sua área. Então, multiplicamo-la pela quantidade de retângulos que compõem a lateral. Dessa forma, a área de um prisma será dada por:
At = Al + 2.Ab

At é a área total do prisma;
Al é a área lateral;
Ab é a área da base.



O volume do prisma é calculado pela multiplicação entre a área da base e a altura.
O volume determina a capacidade que possui uma figura geométrica espacial. Vale lembrar que, geralmente, ele é dado em cm3(centímetros cúbicos) ou m(metros cúbicos).

2) Como Calcular o volume do prisma?

Para calcular o volume do prisma utiliza-se a seguinte expressão:
V = Ab.h
Onde,
Ab: área da base
h: altura

Obs: Não se esqueça que para calcular a área da base é importante saber o formato que a figura apresenta. Por exemplo, num prisma quadrangular a área da base será um quadrado. Já num prisma triangular, a base é formada por um triângulo.
Resultado de imagem para planificação de prismas

1) Em um prisma regular triangular, cada aresta lateral mede 10 cm e cada aresta da base mede 6 cm. Calcular desse Prisma:
Resultado de imagem para planificação de prismas



a) a área de uma face lateral.
Af = (6.10) cm²
Af = 60 cm²

b) a área de uma base.

Cada base é um triângulo equilátero de lado 6 cm. Lembrando que a altura h de um triângulo equilátero de lado a é dada por 









Portanto, a área B de uma base é:







c) a área lateral.

A área lateral AL é a soma das áreas das três fases laterais, isto é:

AL = 3 . Af
AL = 3 . 60 cm²
AL = 180 cm²



d) a área total.
A área total At é a soma da área lateral AL com duas vezes a área B de uma base, isto é:

At = AL + 2B
At = (180 + 18 √3) cm²

2) Um prisma reto de altura 10 cm tem como polígonos das bases triângulos retângulos de catetos 3 cm e 4 cm. Calcule a área total desse prima.













Resolução: 


















3)Em uma piscina regular hexagonal cada aresta lateral mede 8 dm e cada aresta da base mede 4 dm. Calcule, desses prisma:

Resultado de imagem para planificação de prismas



a) a área de cada face lateral;
    Af = b . h
    Af = 4 .8
    Af = 32 dm²


b) a área de uma base;

    Ab = (6.10 √3) / 4
    Ab = 24 √3 dm²


c) a área lateral;

   AL = 6.4.8
   AL = 192 dm²


d) a área total;
    At = 2.24 √3 +192
    At = 48 √3 + 192 dm²

 

Diagonais do Paralelepípedo 

1) As dimensões de um paralelepípedo reto-retângular são 20 cm, 12 cm e 9 cm.Calcular a medida de uma diagonal desse paralelepípedo.


Resultado de imagem para planificação de prismas



Resolução:

D = √a² + b² + c²
D = √20² + 12² + 9²
D = √400 + 144 + 81
D = √625
D = 25 cm²



2) O comprimento EA, a largura EH e a altura EF do paralelepípedo reto-retângulo representado ao lado são 12 cm, 3 cm e 4cm, respectivamente, calcule:
Resultado de imagem para planificação de prismas

a) A medida de uma diagonal da face EFGH;

 D = √3²+4²
 D = √9 + 16
 D = √25
 D = 5 cm²



b) A
 medida de uma diagonal do paralelepípedo;

D = √3² + 4² + 12²
D = √9 + 16 + 144
D = √169
D = 13 cm²



c) a área total do paralelepípedo;
 A1 = 12 . 3          A2 = 4.3        At = A1 + A2
 A1 = 36               A2 = 12         At = 144 + 24
 A1 = 4.36            A2 = 2.12       At = 168 cm²
 A1 = 144             A2 = 24



d) o volume do paralelepípedo;
 V = b.h.l
 V = 12.3.4
 V = 169 cm³


Cubo 

1) A área total de um cubo é 54 cm². Calcule a medida da diagonal desse cubo.

Resultado de imagem para planificação de prismas


Resolução:

At = 6a²              d = a√3
54 = 6a²              d= 3√3cm²
54 /6 = a²
a = √9
a =3 cm 




2) A diagonal de um mede √75 cm .Calcule a área total desse cubo:

Resultado de imagem para planificação de prismas

Resolução:


d = √75
d = L√3
√75 = L√3
5√3 = L√3
L = (5√3) / √3
L = 5 cm 



3) Se a soma das medidas de todas as arestas de um cubo é 60 cm,então o volume desse cubo, em centímentros cúbicos, é:

Resultado de imagem para planificação de prismas

a) 125 cm³
b) 100 cm³
c) 75 cm³
d) 60 cm³
e) 25 cm³


Resolução:

12 arestas

60 cm / 12 = 5

V = 5³ = 125 cm³

Letra a) 125 cm³



4)(UFSCar SP/2016) Uma caixinha de papelão tem a forma de um prisma reto de base quadrada, com 6 cm de lado e altura h, conforme mostra a figura.

Sabendo que o volume dessa caixinha é 288 cm3, pode-se concluir corretamente que o valor da sua área lateral, em centímetros quadrados, é
a) 192.
b) 170.
c) 154.
d) 128.
e) 96.
Solução:
A estratégia para obter a área lateral desse prisma é calcular primeiramente a medida de sua altura. Como foi dada a medida do volume, podemos usar a fórmula para o cálculo do volume de um prisma para descobrir essa medida que falta.
Para tanto, o volume de um prisma é dado pelo produto da área da base pela altura. Sendo assim, a fórmula é:
V = Ab·h
A base desse prisma é um quadrado, portanto, sua área é dada pelo quadrado da medida do lado. Assim, Ab = 62 = 36. Substituindo esse valor e a área da base na expressão acima, teremos:
288 = 36·h
36·h = 288
h = 288
     36
h = 8 cm
A área lateral é dada pela soma das áreas das faces laterais. Como são todas congruentes, basta calcular uma e multiplicar o resultado por 4:
Al = 4·6·8 = 4·48 = 192 cm2
Gabarito: letra A.

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